Rezistor v obvode striedavého prúdu

Pre striedavý obvod s rezistorom platí Ohmov zákon rovnako ako pre obvod s jednosmerným prúdom. Amplitúda striedavého prúdu nezávisí od jeho frekvencie. 

Upozornenie

Šípky v schémach pri symboloch prúdu a napätia označujú okamžitú hodnotu veličiny (smerom od kladnej hodnoty k zápornej). Nie sú to vektory!

Odpor R rezistora, alebo iného spotrebiča, ktorý má len odpor, je v obvode striedavého prúdu rovnaký ako v obvode jednosmerného prúdu. Nazýva sa tiež rezistancia. Podobne ako pri striedavom napätí môžeme osciloskopom alebo pomo­cou počítača zobraziť časový diagram striedavého prúdu. Významnú informáciu o striedavom obvode získame súčasným zobrazením časo­vého diagramu striedavého napätia a prúdu (obr. 3-4). Vidíme, že obidve ve­ličiny majú v rovnakých okamihoch nulové hodnoty a v rovnakých okamihoch nadobúdajú aj maximálne hodnoty, zodpovedajúce ampli­túdam napätia a prúdu. To znamená, že obvodom prechádza najväčší prúd vtedy, keď je na svorkách zdroja najväčšie napätie. Zmeny prúdu prebiehajú súčasne so zmenami napätia. Túto situáciu charakterizujeme fyzikálnym pojmom a veličinou fáza a o priebehu časových diagramov na obr. 3-4 potom hovoríme, že obidva priebehy majú rovnakú fázu.  Tak napr., ak meriame v obvode striedavého prúdu s rezistorom okam­žité hodnoty prúdu a napätia od okamihu keď tieto veličiny nadobudli nulové hodnoty, môžeme prúd a napätie vyjadriť vzťahmi

i = I_msinwt

u = U_msinwt

Rovnakú fázu obidvoch veličín vyjadruje rovnaká hodnota wt, uhla v oblúkovej miere v argumente funkcie sínus v obidvoch vzťahoch.

V začiatočnom okamihu, keď začíname merať (t = 0) , nemusí mať striedavé napätie alebo prúd nulovú hodnotu, ale hodnoty týchto veličín môžu byť rôzne od nuly. Fázu potom vyjadruje výraz (wt + j), v ktorom sme k uhlu wt pripočítali začiatočnú fázu j.

Tak napr., ak pri meraní prúdu v závislosti od času je začiatočná fáza j  =  okamžitú hodnotu prúdu v čase t vyjadríme vzťahom

To znamená, že prúd sme začali merať v okamihu (t = 0), keď fáza mala hodnotu

 .

Na začiatku merania teda mal prúd okam­žitú hodnotu

ktorá sa rovnala maximálnej hodnote I_m prúdu.

Keď si teraz nakreslíme priebeh grafu funkcie sínus, mali by sme dôjsť k záveru, že ak prúd má v začiatočnom okamihu t = 0 hodnotu
–I_m, vyjadruje okamžitú hodnotu prúdu vzťah

V argumente funkcie sínus vystupuje fázová konštanta j = .

V elektrických obvodoch striedavého prúdu s rôznymi prvkami, rezistormi, cievkami a kondenzátormi, môžu mať napätie aj prúd v začiatočnom okamihu rôzne hodnoty. Ak jednu z veličín, napr. na­pätie u, sledujeme od okamihu, keď bola jej hodnota nulová, platí pre závislosť striedavého napätia od času vzťah

u = U_msinwt

Ak druhá zo sledovaných striedavých veličín, prúd i, mala v čase
t = 0 hodnotu i ≠ 0, vyjadríme ju v závislosti od času vzťahom

i = I_msin(wt + j)

Vidíme, že fázy oboch veličín, prúdu a napätia sa líšia o fázovú kon­štantu j.  Rozdiel j medzi fázami obidvoch veličín nazývame fázový rozdiel alebo fázový posun medzi prúdom a napätím.

Rezistancia striedavého obvodu nemá vplyv na fázový posun strie­davého napätia a prúdu. V obvode s rezistorom má časový priebeh striedavého napätia rovnakú fázu ako striedavý prúd. Fázový rozdiel striedavého napätia a prúdu sa rovná nule (j = 0).

Ako sme naznačili v úvode kapitoly, okamžité hodnoty u, i napätia
a prúdu môžeme určiť meraním na časovom diagrame, ak ho zobrazíme pomocou počítača alebo osciloskopu. Ak do obvodu striedavého prúdu zaradíme voltmeter alebo ampérmeter, ich ukazovateľ alebo digitálny displej nestačí sledovať rýchle sa meniace okamžité hodnoty u, i a ustáli sa na určitej stálej hodnote I prúdu alebo na stálej hodnote U napätia. Ak obvodom prechádza striedavý prúd so sínusovým priebehom, nazý­vame takto merané hodnoty efektívne hodnoty striedavého prúdu
a napätia. Používame pre ne rovnaké značky, ako pre jednosmerné napätia a prúdy t. j. U pre efektívnu hodnotu napätia a I pre efektívnu hodnotu prúdu.

Striedavé napätie s amplitúdou U_m a striedavý prúd s amplitúdou I_m majú efektívne hodnoty:

Odvodenie

Pretože v obvode striedavého prúdu s odporom nevzniká fázový rozdiel medzi napätím a prúdom, môžeme ľahko vypočítať výkon striedavého prúdu. Pre výkon jednosmerného prúdu I, ktorý prechádzal rezistorom s odporom R, na koncoch ktorého bolo napätie U, sme používali vzťah

P = UI = RI²

V obvode striedavého prúdu je to zložitejšie, pretože napätie a prúd sa neustále menia tak, že v určitom čase t majú hodnoty

u = U_msinwt,

i = I_msinwt.

Preto sa mení aj výkon tak, že okamžitú hodnotu výkonu striedavého prúdu vyjadruje vzťah p = u · i = Ri² = Ri_m²sin²wt

Graf tejto funkcie je na obr. 3-5 (pre porovnanie je tu čiarkovane zakreslený tiež časový diagram striedavého prúdu). Z grafu je zrejmé, že okamžitá hodnota výkonu sa mení s dvojnásobnou frekvenciou  v porovnaní s prúdom a dosahuje amplitúdu

P_m = RI_m²

Pomocou grafu určíme strednú hodnotu výkonu. K tomu potrebujeme poznať celkovú prácu striedavého prúdu za periódu T (alebo inými slovami – energiu, ktorá sa v rezistore za periódu zmení na teplo). Za veľmi krátku dobu Dt sa vykoná práca DW = pDt, ktorá je úmerná obsahu vyčiarkovanej plochy. Celková práca W = SDW je úmerná obsahu plo­chy ohraničenej osou času a krivkou grafu okamžitého výkonu.

Z grafu priamo vidíme, že obsah vymedzenej plochy je rovnako veľký ako obsah obdĺžnika, ktorého jedna strana je úmerná perióde a druhá polovici amplitúdy výkonu:

Stredná hodnota výkonu počas jednej periódy T

Fyzikálne môžeme tento výsledok chápať tak, že striedavý prúd
s amplitúdou I_m má rovnaký stredný výkon ako jednosmerný prúd takej veľkosti I, že platí

alebo

Podobnou úvahou dospejeme ku vzťahu pre efektívnu hodnotu strie­davého napätia.

Efektívne hodnoty striedavého napätia U a prúdu I zodpovedajú hod­notám jednosmerného prúdu, ktorý má v obvode s odporom rovnaký výkon ako daný striedavý prúd. Pre výkon striedavého prúdu v obvode s odporom platí vzťah

P = UI